Question

7．如圖，Rt△OAB在平面直角坐標系中，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，且OA=3，OB=$\sqrt{3}$，邊長為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的等邊三角形OCD的一邊OC在y軸的正半軸上，點D位于第二象限內．若等邊三角形OCD以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，點D運動到y軸上則停止運動；設點O運動的對應點為點E，ED與y軸的交點為F，CD與y軸和AB的交點分別為H，G，CE與AB的交點為M，設△OCD運動的時間為t秒，△ECD與△OAB重疊部分的面積為S．
（1）若反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點D，請直接寫出k的值；
（2）求出S關于t的函數解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．
（3）在坐標平面內是否存在點P，使以E，F，M，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DH⊥OC于H．根據等邊三角形的性質求出點D的坐標，即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①如圖3中，當0＜t≤$\frac{3}{2}$時，重疊部分是平行四邊形EFBM，②如圖4中，當$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{9}{4}$時，重疊部分是五邊形EFHKM．分別計算即可．
（3）當△FEM是等邊三角形時，E，F，M，P為頂點的四邊形是菱形，分三種情形討論即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作DH⊥OC于H．

∵△ODC是等邊三角形，OC=DC=DO=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴DH=DC•sin60°=$\frac{9}{4}$，OH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴D（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點D，
∴k=-$\frac{27\sqrt{3}}{16}$．

（2）如圖2中，當直線CD經過點B時．

∵DB=DF=BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DH=DB•sin60°=$\frac{3}{4}$，OE=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$
①如圖3中，當0＜t≤$\frac{3}{2}$時，重疊部分是平行四邊形EFBM，

∵直線AB的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
∵OE=t，
∴ME=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$，
∴S=t•（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t．
②如圖4中，當$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{9}{4}$時，重疊部分是五邊形EFHKM．

S=S_△DCE-S_△CKM-S_△DHF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）]²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$t²+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t}&{（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{12}{t}^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{4}t+\frac{3\sqrt{3}}{2}}&{（\frac{3}{2}＜t≤\frac{9}{4}）}\end{array}\right.$．

（3）如圖5中，

當△FEM是等邊三角形時，E，F，M，P為頂點的四邊形是菱形，
∵EF=EM，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$，
∴t=1，
∴OE=1，OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵四邊形EFMP₁是菱形，
∴P₁（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∵四邊形EMP₂F是菱形，
∴P₂（0，$\sqrt{3}$），
∵四邊形EMFP₃是菱形，
∴P₃（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查反比例函數綜合題、平移變換、多邊形面積、等邊三角形的性質、菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．