Question

18．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點P在射線BC上運動，點P和點P′關于BD對稱，當P′、P、D三點共線時運動停止，連接DP′、DP．設BP=x．
（1）當x為何值時，P′落在AD上；
（2）如果四邊形BP′DP與矩形ABCD重合部分的面積為S，求S關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：首先證明BP=BP′=P′D=x，則AP′=4-x．然后在Rt△AP′B中，依據勾股定理列方程求解即可；
（2）當點P′在矩形的內部時S_△PBD=S_△P′BD，然后依據S=S_△PBD+S_△P′BD=2S_△PBD求解即可；當點P′在矩形的外部，點P在BC上時，由S=S_△BDE+S_△BDP求解即可；當點P在BC的延長線上時，由S=S_△BDE+S_△BDC求解即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵點P′與點P關于BD對稱，
∴∠PBD=∠P′BD，BP=BP′．
∵AD∥BC，
∴∠PBD=∠ADB．
∴∠P′DB=∠P′BD，
∴P′D=P′B．
設BP=x，則BP′=P′D=x，AP′=4-x．
在Rt△AP′B中，依據勾股定理可知：3²+（4-x）²=x²．
解得：x=$\frac{25}{8}$．
∴當x=$\frac{25}{8}$時，P′落在AD上；
（2）如圖2所示：

∵點P′與點P關于BD對稱，
∴S_△PBD=S_△P′BD．
∴S=S_△PBD+S_△P′BD=2S_△PBD=2×$\frac{1}{2}$BP•DC=3x（0≤x＜$\frac{25}{8}$）．
如圖3所示：

由（1）可知：DE=$\frac{25}{8}$．
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3=$\frac{75}{16}$．
S_△BDP=$\frac{1}{2}$BP•DC=$\frac{3}{2}$x．
∴S=S_△BDE+S_△BDP=$\frac{3}{2}$x+$\frac{75}{16}$（$\frac{25}{8}$≤x＜4）．
如圖4所示：

S=S_△BDE+S_△BDC=$\frac{75}{16}$+$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{171}{16}$．
在Rt△BCD中，依據勾股定理可知：BD=5．
∵當P′、P、D三點共線時運動停止，
∴點P′、D、P共線．
∵點P′與點P關于BD對稱，
∴DP′=DP，BP′=BP，
∴BD⊥P′P．
∵∠DBC=∠DBP，∠DCB=∠BDP，
∴△BCD∽△BDP．
∴BP=$\frac{B{D}^{2}}{BC}$=$\frac{25}{4}$．
∴當4≤x≤$\frac{25}{4}$時，S=$\frac{171}{16}$．
綜上所述，S與x的函數關系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{3x（0≤x＜\frac{25}{8}）}\\{\frac{3}{2}x+\frac{75}{16}（\frac{28}{5}≤x＜4）}\\{\frac{171}{16}（4≤x≤\frac{25}{4}）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、翻折的性質、勾股定理、相似三角形的性質和判定、三角形的面積公式，分類討論是解題的關鍵．