Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在線段AC上，D在AB的延長線上，連接DE交BC于F，過E作EG⊥BC于G．
（1）下列兩個(gè)關(guān)系式：①DB=EC，②DF=EF，請你選擇一個(gè)做為條件，另一個(gè)做為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)正確的命題，并給予證明．
你選擇的條件是①，結(jié)論是②．（只需填序號）
（2）在（1）的條件下，求證：FG=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 （1）條件是①DB=EC，結(jié)論是②DF=EF．（也可以填條件是②，結(jié)論是①）．只要證明△FBD≌△FHE，即可解決問題．
（2）由（1）可知，EH=EC，EG⊥HC，推出GH=GC，由△BFD≌△FHE，推出BF=FH，即可推出FG=FH+HG=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$HC=$\frac{1}{2}$（BH+HC）=$\frac{1}{2}$BC．

解答 （1）解：條件是①DB=EC，結(jié)論是②DF=EF．（也可以填條件是②，結(jié)論是①）．
理由：如圖作，EH∥AD交BC于H．

∵EH∥AD，
∴∠ABC=∠EHC，∠D=∠HEF，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠EHC，
∴EH=EC=BD，
在△FBD和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠HEF}\\{∠DFB=∠EFH}\\{BD=EH}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△FHE，
∴DF=EF．

（2）證明：由（1）可知，EH=EC，EG⊥HC，
∴GH=GC，
∵△BFD≌△FHE，
∴BF=FH，
∴FG=FH+HG=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$HC=$\frac{1}{2}$（BH+HC）=$\frac{1}{2}$BC．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．