Question

11．如圖1，△ABC中，點P在AB邊上自點A向終點B運動，運動速度為每秒1個單位長度，過點P作PD∥AC，交BC于點D，過D點作DE∥AB，交AC于點E，且AB=10，AC=5，設點P運動的時間為t秒（0＜t＜10）．
（1）填空：當 t=5秒時，△PBD≌△EDC；
（2）當四邊形APDE是菱形時．試求t的值？
（3）如圖2，若△ABC的面積為20，四邊形APDE的面積為S，試問S是否有最大值？如果有最大值，請求出最大值，如果沒有請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形APDE是平行四邊形，得出DE=AP，再由全等三角形的性質建立方程求解即可；
（2）先判斷出△CDE∽△CBA，得出CE=$\frac{1}{2}$t，再利用菱形的性質得出AP=AE，建立方程求解即可；
（3）借助（2）得出△CDE∽△CBA，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方得出S_△CED=$\frac{{t}^{2}}{5}$，同理得出S_△DPB=$\frac{（10-t）^{2}}{5}$，最后用面積的差得出S=-$\frac{2}{5}$（t-5）²+10（0＜t＜10），即可確定出結論．

解答 解：（1）由運動知，AP=t，
∵AB=10，
∴BP=10-t，
∵DP∥AC，DE∥AB，
∴四邊形APDE是平行四邊形，
∴DE=AP，
∵△PBD≌△EDC，
∴BP=DE，
∴BP=AP，
∴t=10-t，
∴t=5，
故答案為5；
（2）由（1）知，AP=DE=t，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∵AB=10，AC=5，
∴CE=$\frac{1}{2}$t，
∴AE=AC-CE=5-$\frac{1}{2}$t，
∵四邊形APDE是菱形，
∴AP=AE，
∴t=5-$\frac{1}{2}$t，
∴t=$\frac{10}{3}$；
（3）S有最大值，理由如下：
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△CED}}{{S}_{△CAB}}=（\frac{ED}{AB}）^{2}$=$（\frac{t}{10}）^{2}$=$\frac{{t}^{2}}{100}$，
∵S_△CAB=20，
∴S_△CED=$\frac{{t}^{2}}{100}$×S_△CAB=$\frac{{t}^{2}}{5}$，
同理：S_△DPB=$\frac{（10-t）^{2}}{5}$，
∴S=S_△CAB-S_△CED-S_△DPB
=20-$\frac{{t}^{2}}{5}$-$\frac{（10-t）^{2}}{5}$
=-$\frac{2}{5}$（t-5）²+10（0＜t＜10）
當t=5時，S_最大=10．
即：S有最大值，最大值為10．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的性質，菱形的性質，解（2）的關鍵是得出AE=5-$\frac{1}{2}$t，解（3）的關鍵是利用相似三角形的想得出S_△CED=$\frac{{t}^{2}}{5}$，S_△DPB=$\frac{（10-t）^{2}}{5}$，本題體現了方程的思想，屬于中考壓軸題．