Question

19．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，邊BC是⊙0的切線，切點(diǎn)為D，AB經(jīng)過(guò)圓心O并與圓相交于點(diǎn)E，連接AD．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AC=8，tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明；
（2）連接CE，根據(jù)正切的定義和勾股定理求出AD，根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC，又∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）解：連接CE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∵∠OAD=∠CAD，tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠EAD=$\frac{3}{4}$，
∵tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，AC=8，
∴CD=6，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=10，
∴$\frac{DE}{10}$=$\frac{3}{4}$，
解得，DE=$\frac{15}{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．