Question

10．如圖，?ABCD中，AB=8，∠DAB的平分線交邊CD于E（點E不與A，D重合），過點E作AE的垂線交BC所在直線于點G，交AB所在直線于點F．

（1）當點G在CB的延長線上時（如圖2），判斷△BFG是什么三角形？說明理由．如果點G在B，C之間時此結論是否仍然成立？（不必說明理由）
（2）當點G在B，C之間時（如圖1），求AD的范圍；
（3）當2BG=BC時，求AD的長度．

Answer 1

分析 （1）如圖2，△BFG是等腰三角形，作平行線，構建菱形ADEH，證明AH=EH，所以∠EAH=∠AEH，再證明∠GFB=∠G，根據等角對等邊得：BF=BG，所以△BFG是等腰三角形；
如圖1，同理可得：△BFG是等腰三角形；
（2）由?ABCD無限接近菱形，得AD＜8，點G與D點重合時，AD取最小值，由AD=AH=HB得出AD的取值范圍；
（3）分兩種情況：
①當G在邊BC上時，如圖1，根據2AD=AF=AB+BF列式計算可得AD的長；
②當G是邊CB的延長線上時，如圖2，根據AF=AB-BF列式可得AD的長$\frac{16}{5}$．

解答 解：（1）如圖2，△BFG是等腰三角形，理由是：
過E作EH∥AD，交AB于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴四邊形ADEH是平行四邊形，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAH，
∵DC∥AB，
∴∠DEA=∠EAH，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∴?ADEH是菱形，
∴AH=EH，
∴∠EAH=∠AEH，
∵AE⊥EG，
∴∠AEG=90°，
∴∠EAH+∠HFE=90°，∠AEH+∠HEF=90°，
∴∠HEF=∠HFE，
∵EH∥AD，AD∥BC，
∴EH∥BC，
∴∠HEF=∠G，
∵∠HFE=∠GFB，
∴∠GFB=∠G，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形；
如圖1，結論仍然成立，理由是：
過E作EH∥AD，交AB于H，
同理得：∠HEF=∠HFE，
∵EH∥BC，
∴∠HEF=∠BGF，
∴∠HFE=∠BGF，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形；
（2）如圖1，∵若點G無限接近C點時，E點也會無限接近C點，
∴?ABCD無限接近菱形，
∴AD＜8，
又∵點G與D點重合時，AD取最小值，如圖3，
過E作EH∥AD，交AB于H，
同理得：AD=AH=HB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵點G在B，C之間，
∴AD的范圍：4＜AD＜8；
（3）當G在邊BC上時，如圖1，
∵BG=BF=$\frac{1}{2}$BC，AF=2AD，
∴2AD=AF=AB+BF=8+$\frac{1}{2}$BC=8+$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=$\frac{16}{3}$，
當G是邊CB的延長線上時，如圖2，
∵BG=$\frac{1}{2}$BC，AF=2AD，BF=BG，
∴AF=AB-BF=AB-BG，
2AD=8-$\frac{1}{2}$AD，
AD=$\frac{16}{5}$，
綜上所述，當2BG=BC時，AD的長度的長為$\frac{16}{3}$或$\frac{16}{5}$．

點評 本題四邊形的綜合題，考查了平行四邊形、菱形的性質和判定，平行線的性質，等腰三角形的性質和判定，難度適中，關鍵是能作出平行線，運用了類比的解題思路，使問題得以解決．