Question

14．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點，AC=3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H，求BD•cos∠HBD的值．

Answer 1

分析 由DH與AB平行，得到一對內錯角相等，再由一對內錯角相等，利用兩角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形DHC相似，由相似得比例求出CH的長，由BC+CH求出BH的長，在直角三角形BHD中，利用銳角三角函數定義求出所求式子的值即可．

解答 解：∵DH∥AB，
∴∠BHD=∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠DCH，
∴△ABC∽△DHC，
∵AC=3CD，即$\frac{AC}{DC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{BC}{HC}$=$\frac{1}{3}$，
又BC=3，
∴CH=1，
∴BH=BC+CH=3+1=4，
在Rt△BHD中，cos∠HBD=$\frac{BH}{BD}$，
∴BDcos∠HBD=BH=4．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，以及解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．