Question

9．在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，動點P在線段BC上（不含點B），∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．

（1）當點P與點C重合時（如圖①），求證：△BOG≌△POE；
（2）通過觀察、測量、猜想：$\frac{BF}{PE}$=$\frac{1}{2}$，并結合圖②證明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若∠ACB=α，求$\frac{BF}{PE}$的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，P與C重合，易證得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，證得∠GBO=∠EPO，則可利用ASA證得：△BOG≌△POE；
（2）首先過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易證得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=$\frac{1}{2}$BM．則可求得 $\frac{BF}{PE}$的值；
（3）首先過P作PM∥AC交BG于點M，交BO于點N，由（2）同理可得：BF=$\frac{1}{2}$BM，∠MBN=∠EPN，繼而可證得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得$\frac{BF}{PE}$．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GBO=∠EPO}\\{OB=OP}\\{∠BOG=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△POE（ASA）；

（2）解：猜想 $\frac{PF}{PE}$=$\frac{1}{2}$．
證明：如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠NPE}\\{NB=NP}\\{∠MNB=∠PNE}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM=PE．
∵∠BPE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°．
在△BPF和△MPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠MPE}\\{PF=PF}\\{∠PFB=∠PFM}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF=MF．
即BF=$\frac{1}{2}$BM．
∴BF=$\frac{1}{2}$PE．
即 $\frac{BF}{PE}=\frac{1}{2}$；
故答案為$\frac{1}{2}$；
（3）解：如圖3，過P作PM∥AC交BG于點M，交BO于點N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．
由（2）同理可得BF=$\frac{1}{2}$BM，∠MBN=∠EPN，
∴△BMN∽△PEN，
∴$\frac{BM}{PE}=\frac{BN}{PN}$．
在Rt△BNP中，tanα=$\frac{BN}{PN}$，
∴$\frac{BM}{PE}$=tanα．即$\frac{2BF}{PE}$=tanα．
∴$\frac{BF}{PE}=\frac{1}{2}$tanα．

點評 此題考查了正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數的定義等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意準確作出輔助線是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用．