Question

6．解方程：2x⁴-9x³+14x²-9x+2=0．

Answer 1

分析 由題意可知x≠0，故可將方程的兩邊同時除以x²，化高次方程為低次方程；根據所得方程的結構特點，運用十字相乘法將方程的左邊因式分解即可解決問題．

解答 解：∵2x⁴-9x³+14x²-9x+2=0，且x≠0，
∴方程兩邊同除以x²得：2x²-9x+14-$\frac{9}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$=0，
故2（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-9（x+$\frac{1}{x}$）+14=0，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2，
∴2（x+$\frac{1}{x}$）²-9（x+$\frac{1}{x}$）+10=0，
∴[2（x+$\frac{1}{x}$）-5][（x+$\frac{1}{x}$）-2]=0，
∴2（x+$\frac{1}{x}$）-5=0①或x+$\frac{1}{x}$-2=0②；
將方程①變形整理得：2x²-5x+2=0，解得：x=$\frac{1}{2}$或2；
將方程②變形整理得：x²-2x+1=0，解得：x=1，
∴方程2x⁴-9x³+14x²-9x+2=0的解為x=$\frac{1}{2}$或2或1．

點評 此題考查了特殊高次方程的求解問題；解決該類問題的一般思路是：將低次數，化高次方程為低次方程；靈活運用解決一般方程的思路、方法來求解．