Question

11．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，弧CF=弧CB，過點C作AB的垂線，垂足為D，連接BC、AC、BF，BF與C交于點E．
（1）求證：∠DCB=∠EBC；
（2）若AD=4，BD=1，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）延長CD交O于點R．根據垂徑定理得到$\widehat{BC}$=$\widehat{BR}$，于是得到$\widehat{CF}$=$\widehat{BR}$，即可得到結論；
（2）由∠A=∠BCD，得到tanA=tan∠BCD，根據射影定理得到CD²=AD•BD=4，根據勾股定理得到AC=2$\sqrt{5}$，根據三角函數的定義即可得到結論．

解答 解：（1）延長CD交O于點R．
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BR}$，
∵$\widehat{CF}$=$\widehat{BC}$．
∴$\widehat{CF}$=$\widehat{BR}$，
∴∠DCB=∠EBC；

（2）∵∠A=∠BCD，
∴tanA=tan∠BCD，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴∠ACB=90°，
∴CD²=AD•BD=4，
∵Rt△CBD中：BC²=CD²+DB²，∴BC=$\sqrt{5}$，
Rt△ACB中：AC²=AB²-BC²，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴Rt△CEB中：CE=BC•tan∠EBC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理，勾股定理，三角函數的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．