Question

3．已知AB是⊙O的直徑，AB=6，C為圓外一點，E為圓上一點，連接CE交⊙O于D，∠CAD=∠CEA．
（1）如圖1，連接BC，若AC=2$\sqrt{3}$，求∠ABC的度數；
（2）如圖2，作EG⊥AB，交⊙O于點G，GE，AD的延長線相交于點F，連接GD交AB于H，過D作DM⊥AC于M，若${\widehat{AD}}=\frac{3}{2}$π，CM=1，求BH的長度．

Answer 1

分析 （1）利用等量代換求出∠CAB=90°，用三角函數即可求出結論；
（2）先判斷出四邊形AODM為正方形，進而判斷出△CMD≌△HOD，即可求出BH．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵$\widehat{AD}=\widehat{AD}$，
∴∠CEA=∠ABD，
∵∠CAD=∠CEA，
∴∠CAD=∠ABD，
∴∠DAB+∠CAD=90°，
即∠CAB=90°，
∵$AC=2\sqrt{3}$，AB=6，
∴$tan∠ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠ABC=30°；

（2）
解：如圖2，連接BD，OE，OG，
∵直徑AB=6，
∴$OA=\frac{1}{2}AB=3$，
∵${\widehat{AD}}=\frac{3}{2}$π，
∴∠AOD=90°，
∵∠AOD=∠DMA=∠MAO=90°，OA=OD
∴四邊形AODM為正方形，
∵OE=OG，EG⊥AB，
∴∠EOB=∠GOB，
∴∠EDB=∠GDB，
∵∠ADB=∠FDB=90°，
∴∠ADH=∠FDE=∠CDA，
∵∠ADM=∠ADO=45°，
∴∠CDM=∠HDO，
∵DM=DO，∠CMD=∠HOD=90°，
∴△CMD≌△HOD，
∴OH=CM=1，
∴BH=OB-OH=2．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了等量代換，正方形的判定，全等三角形的判定，解（1）的關鍵是求出∠CAB=90°，解（2）的關鍵是判斷出四邊形AODM為正方形，是一道中等難度的中考常考題．