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3.已知AB是⊙O的直徑,AB=6,C為圓外一點,E為圓上一點,連接CE交⊙O于D,∠CAD=∠CEA.
(1)如圖1,連接BC,若AC=2$\sqrt{3}$,求∠ABC的度數;
(2)如圖2,作EG⊥AB,交⊙O于點G,GE,AD的延長線相交于點F,連接GD交AB于H,過D作DM⊥AC于M,若${\widehat{AD}}=\frac{3}{2}$π,CM=1,求BH的長度.

分析 (1)利用等量代換求出∠CAB=90°,用三角函數即可求出結論;
(2)先判斷出四邊形AODM為正方形,進而判斷出△CMD≌△HOD,即可求出BH.

解答 解:(1)如圖1,連接BD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°,
∵$\widehat{AD}=\widehat{AD}$,
∴∠CEA=∠ABD,
∵∠CAD=∠CEA,
∴∠CAD=∠ABD,
∴∠DAB+∠CAD=90°,
即∠CAB=90°,
∵$AC=2\sqrt{3}$,AB=6,
∴$tan∠ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
∴∠ABC=30°;

(2)
解:如圖2,連接BD,OE,OG,
∵直徑AB=6,
∴$OA=\frac{1}{2}AB=3$,
∵${\widehat{AD}}=\frac{3}{2}$π,
∴∠AOD=90°,
∵∠AOD=∠DMA=∠MAO=90°,OA=OD
∴四邊形AODM為正方形,
∵OE=OG,EG⊥AB,
∴∠EOB=∠GOB,
∴∠EDB=∠GDB,
∵∠ADB=∠FDB=90°,
∴∠ADH=∠FDE=∠CDA,
∵∠ADM=∠ADO=45°,
∴∠CDM=∠HDO,
∵DM=DO,∠CMD=∠HOD=90°,
∴△CMD≌△HOD,
∴OH=CM=1,
∴BH=OB-OH=2.

點評 此題是圓的綜合題,主要考查了等量代換,正方形的判定,全等三角形的判定,解(1)的關鍵是求出∠CAB=90°,解(2)的關鍵是判斷出四邊形AODM為正方形,是一道中等難度的中考常考題.

練習冊系列答案
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5.下列計算中,正確的是(  )
A.3$\sqrt{3}$×3$\sqrt{2}$=3$\sqrt{6}$B.$\sqrt{27}$÷$\sqrt{3}$=3C.2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$=6$\sqrt{5}$D.$\sqrt{(-7)^{2}}$=-7

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6.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖(虛線部分為對稱軸),給出以下5個結論:①x≤1時,y隨x的增大而增大;②abc>0;③b<a+c;④4a+2b+c>0;⑤3a-b<0,其中正確的結論有①④⑤(填上所有正確結論的序號).

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11.已知:如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,弧CF=弧CB,過點C作AB的垂線,垂足為D,連接BC、AC、BF,BF與C交于點E.
(1)求證:∠DCB=∠EBC;
(2)若AD=4,BD=1,求CE的長.

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18.我市某中學為了進一步普及衛生知識、提高衛生意識、推廣健康生活,今年3月份舉行了一次衛生知識競賽,這次競賽中共有20道題,每一題答對得5分,答錯或不答都扣3分.
(1)小明考了68分,那么小明答對了多少道題?
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8.觀察下列各式
2×$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$
3×$\sqrt{\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$ 
4×$\sqrt{\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$ 
則依次第四個式子是5×$\sqrt{\frac{5}{24}}$=$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$.用n(n>1)表示你觀察得到的規律是n×$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$.

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15.如圖,在⊙O中,AB,BC為互相垂直且相等的兩條弦,連接AC.求證:
(1)AC是⊙O的直徑;
(2)作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,則四邊形ODBE是正方形.

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12.用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子,小正方形的頂點稱為格點,以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形.設格點多邊形的面積為S,該多邊形各邊上的格點個數之和為m,內部的格點個數為n,試探究S與m、n之間的關系式.

(1)根據圖中提供的信息填表:
格點多邊形各邊上的
格點的個數
格點邊多邊形內部的
格點個數
格點多邊形的面積
多邊形1412
多邊形252②$\frac{7}{2}$
多邊形3635
多邊形4①54$\frac{11}{2}$
一般格點多邊形mnS
則S=$\frac{1}{2}$m+n-1(用含m、n的代數式表示)
(2)對正三角形網格中的類似問題進行探究:正三角形網格中每個小正三角形面積為1,小正三角形的頂點為格點,以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形,如圖1、2是該正三角形格點中的兩個多邊形:設格點多邊形的面積為S,該多邊形各邊上的格點個數之和為m,內部的格點個數為n,試探究S與m、n之間的關系式.則S與m、n之間的關系為S=m+2(n-1)(用含m、n的代數式表示).

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13.非等邊三角形的三條邊都是方程x2-6x+8=0的解,則這個三角形的周長是(  )
A.6B.8C.10D.8 或 10

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