Question

12．用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數之和為m，內部的格點個數為n，試探究S與m、n之間的關系式．

（1）根據圖中提供的信息填表：

	格點多邊形各邊上的 格點的個數	格點邊多邊形內部的 格點個數	格點多邊形的面積
多邊形1	4	1	2
多邊形2	5	2	②$\frac{7}{2}$
多邊形3	6	3	5
多邊形4	①5	4	$\frac{11}{2}$
一般格點多邊形	m	n	S

則S=$\frac{1}{2}$m+n-1（用含m、n的代數式表示）
（2）對正三角形網格中的類似問題進行探究：正三角形網格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，如圖1、2是該正三角形格點中的兩個多邊形：設格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數之和為m，內部的格點個數為n，試探究S與m、n之間的關系式．則S與m、n之間的關系為S=m+2（n-1）（用含m、n的代數式表示）．

Answer 1

分析 （1）并根據圖發現2=$\frac{1}{2}$×4+1-1；$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+2-1；5=$\frac{1}{2}$×6+3-1；$\frac{11}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+4-1，由此即可得出S與m、n的關系；
（2）根據8=8+2（1-1），11=7+2（3-1）得到S=m+2（n-1）．

解答 解：（1）多邊形2的面積=$\frac{1+3}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{7}{2}$，多邊形4的邊上的格點數的和為5，
因為2=$\frac{1}{2}$×4+1-1；$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+2-1；5=$\frac{1}{2}$×6+3-1；$\frac{11}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+4-1，
所以S=$\frac{1}{2}$m+n-1，
故答案為：$\frac{7}{2}$，5，S=$\frac{1}{2}$m+n-1；

（2）因為圖1中，m=8，n=1，S=8，8=8+2（1-1），圖2中，m=7，n=3，S=11，11=7+2（3-1），
所以S=m+2（n-1）．
故答案為m+2（n-1）．

點評 此題考查了作圖-應用與設計作圖．此題需要根據圖中表格和自己所算得的數據，總結出規律．尋找規律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算．