Question

15．如圖，在⊙O中，AB，BC為互相垂直且相等的兩條弦，連接AC．求證：
（1）AC是⊙O的直徑；
（2）作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，則四邊形ODBE是正方形．

Answer 1

分析 （1）由AB，BC為互相垂直且相等的兩條弦可知∠ABC=90°，從而可知AC是直徑；
（2）先證明四邊形ODBE是矩形，然后證明BD=BE即可得證．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直徑，
（2）∵OD⊥AB，OE⊥BC，
∴四邊形ODBE是矩形，
由垂徑定理可知：BD=$\frac{1}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=BC，
∴BD=BE，
∴矩形ODBE是正方形，

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，正方形的判定，垂徑定理等知識，綜合程度較高．