Question

7．如圖1，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），于x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，在線段AB上存在一動點K（點K不與點A重合），設點K的坐標為（t，0）（t＞0），過K作KF⊥AB交射線AN于點F，以KF為一邊在KF的右側作正方形KFGH，又使△OCG為等腰三角形，求此時正方形KFGH的邊長．
93）直線y=mx+2與已知拋物線交于T，Q兩點，是否存在這樣的實數m，使以線段TQ為直徑的園恰好過坐標原點，若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）按拋物線的頂點坐標設出解析式，再將點N坐標代入即可；
（2）先確定出直線AN解析式，進而表示出點F，即可得出正方形的邊長，再表示出點G坐標，最后分三種情況用兩邊相等建立方程求解即可．
（3）存在．如圖設T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別過T、Q作TE⊥y軸，QG⊥x軸，聯立直線TQ解析式與拋物線解析式，可得x₁，y₁，x₂，y₂之間的關系，當以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點時，∠TOQ=90°，利用互余關系可證△TOE∽△QOG，利用相似比得出線段關系，結合x₁，y₁，x₂，y₂之間的關系求m的值

解答 解：（1）∵拋物線的頂點M的坐標為（1，4），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
∵拋物線經過點N（2，3），
∴3=a（2-1）²+4，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
當y=0時，0=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵N（2，3），
∴直線AN的解析式為y=x+1，
∵K作KF⊥AB交射線AN于點F，設點K的坐標為（t，0）（t＞0），
∴F（t，t+1），
∴FK=t+1，
∵以KF為一邊在KF的右側作正方形KFGH，
∴H（2t+1，0），G（2t+1，t+1），
∵C（0，3），
∴OC=3，OG²=（2t+1）²+（t+1）²，CG²=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∵△OCG為等腰三角形，
∴①當OC=OG時，
∴OC²=OG²，
∴9=（（2t+1）²+（t+1）²，
∴t=$\frac{-3-2\sqrt{11}}{5}$（不符合題意，舍）或t=$\frac{-3+2\sqrt{11}}{5}$，
∴t+1=$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，
∴正方形KFGH的邊長為$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$，
②當OC=CG時，
∴OC²=CG²，
∴9=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∴t=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（不符合題意，舍）或t=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴t+1=$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$，
∴正方形KFGH的邊長為$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$，
③當OG=CG時，
∴OG²=CG²，
∴（（2t+1）²+（t+1）²=（2t+1）²+（t+1-3）²，
∴t=$\frac{1}{2}$，
∴t+1=$\frac{3}{2}$，
∴正方形KFGH的邊長為$\frac{3}{2}$．
即：正方形KFGH的邊長為$\frac{2+2\sqrt{11}}{5}$或$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$或$\frac{3}{2}$．

（3）存在．
如圖設T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別過T、Q作TE⊥y軸，QG⊥x軸，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=mx+2}\end{array}\right.$，
解得：x²+（m-2）x-1=0，
則x₁+x₂=2-m，x₁x₂=-1，
當以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點時，∠TOQ=90°，
則∠TOE+∠EOQ=∠EOQ+∠QOB=90°，
則∠TOE=∠QOB，而∠TEO=∠QGO=90°，
所以，△TOE∽△QOG，
則$\frac{TE}{QG}$=$\frac{OE}{OG}$，
即$\frac{-{x}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
x₁x₂+y₁y₂=0，-1+（mx₁+2）（mx₂+2）=0，
-1+m²x₁x₂+2m（x₁+x₂）+4=0，
-1-m²+2m（2-m）+4=0，整理，得3m²-4m-3=0，
解得：m=$\frac{2±\sqrt{13}}{3}$．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法、正方形的性質、等腰三角形的性質相似三角形的判定與性質等知識點，解題的關鍵是根據等腰三角形的性質分類討論和相似三角形的判定與性質．