Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接BC，點D位拋物線的頂點，點P是第四象限的拋物線上的一個動點（不與點D重合）．
（1）求∠OBC的度數；
（2）連接CD，BD，DP，延長DP交x軸正半軸于點E，且S_△OCE=S_{四邊形OCDB}，求此時P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由拋物線已知，則可求三角形OBC的各個頂點，易知三角形形狀及內角．
（2）因為拋物線已固定，則S_{四邊形OCDB}固定，對于坐標系中的不規則圖形常用分割求和、填補求差等方法求面積，本圖形過頂點作x軸的垂線及可將其分為直角梯形及直角三角形，面積易得．由此可得E點坐標，進而可求ED直線方程，與拋物線解析式聯立求解即得P點坐標．

解答 解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴由題意得，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）．
在Rt△OBC中，
∵OC=OB=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°．

（2）如圖1，過點D作DH⊥x軸于H，

此時S_{四邊形OCDB}=S_梯形OCDH+S_△HBD，
∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，
∴S_梯形OCDH=$\frac{1}{2}$•（OC+HD）•OH=$\frac{7}{2}$，
S_△HBD=$\frac{1}{2}$•HD•HB=4，
∴S_{四邊形OCDB}=$\frac{15}{2}$．
∴S_△OCE=S_{四邊形OCDB}=$\frac{15}{2}$=$\frac{1}{2}$•OC•OE，
∴OE=5，
∴E（5，0）．
設l_DE：y=kx+b，
∵D（1，-4），E（5，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴l_DE：y=x-5．
∵DE交拋物線于P，設P（x，y），
∴x²-2x-3=x-5，
解得 x=2 或x=1（D點，舍去），
∴x_P=2，代入l_DE：y=x-5，
∴P（2，-3）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，熟練掌握待定系數法求直線解析式、直角三角形性質及割補法求四邊形的面積、直線和拋物線交點問題是解題的關鍵．