Question

12．方程xyz+xy+xz+yz+x+y+z=2012的非負(fù)整數(shù)解有（　　）組．

• A． 6
• B． 12
• C． 24
• D． 27

Answer 1

分析 先將等式化成（x+1）（y+1）（z+1）=2013，然后分三種情況討論得出非負(fù)整數(shù)解的可能，最后加起來(lái)即可．

解答 解：∵xyz+xy+xz+yz+x+y+z
=（xyz+yz）+（xy+y）+（xz+z）+（x+1）-1
=yz（x+1）+y（x+1）+z（x+1）+（x+1）-1
=（x+1）（yz+y+z+1）-1
=（x+1）[y（z+1）+（z+1）]-1
=（x+1）（y+1）（z+1）-1
=2012，
∴（x+1）（y+1）（z+1）=2013，
∵x，y，z都大于0，
①當(dāng)x+1，y+1，z+1中沒(méi)有一個(gè)等于1時(shí)，∴2013=3×11×61，共有6種；
②當(dāng)x+1，y+1，z+1中有一個(gè)等于1時(shí)，
Ⅰ、當(dāng)x+1=1時(shí)，即x=0時(shí)，∴2013=3×671=11×183=61×33，有6種，
Ⅱ、當(dāng)y+1=1時(shí)，即y=0時(shí)，∴2013=3×671=11×183=61×33，有6種，
Ⅲ、當(dāng)z+1=1時(shí)，即z=0時(shí)，∴2013=3×671=11×183=61×33，有6種，
③當(dāng)x+1，y+1，z+1中有兩個(gè)等于1時(shí)，共3種，
綜上：4×6+3=27種，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題是非一次不定方程，主要考查了分組，分類(lèi)討論，解本題的關(guān)鍵是得出（x+1）（y+1）（z+1）=2013，也是解本題的難道．