Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現有以下結論：①AB=$\sqrt{2}$；②當點E與點B重合時，MH=$\frac{1}{2}$；③AF+BE=EF；④MG•MH=$\frac{1}{2}$，其中正確結論的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形即可作出判斷；
②如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，可得MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，進一步得到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；
③如圖2所示，SAS可證△ECF≌△ECD，根據全等三角形的性質和勾股定理即可作出判斷；
④根據AA可證△ACE∽△BFC，根據相似三角形的性質可得AF•BF=AC•BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據平行線的性質和等量代換得到MG•MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE×$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE•BF=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$，依此即可作出判斷．

解答 解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，故①正確；

②如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位線，
∴GC=$\frac{1}{2}$AC=MH，故②正確；

③如圖2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
將△ACF順時針旋轉90°至△BCD，
則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠2=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE²=BD²+BE²，即EF²=AF²+BE²，故③錯誤；

④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AC}{BF}$，
∴AE•BF=AC•BC=1，
由題意知四邊形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG=CH，MH∥AC，
∴$\frac{CH}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$；$\frac{CG}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$，
即$\frac{MG}{1}$=$\frac{AE}{\sqrt{2}}$；$\frac{MH}{1}$=$\frac{BF}{\sqrt{2}}$，
∴MG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE；MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∴MG•MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE×$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE•BF=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$，故④正確；
故選：C．

點評 此題考查了三角形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，矩形的判定和性質，三角形中位線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．