Question

6．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，AC、PB的延長線相交于點D．
（1）若∠1=20°，求∠APB的度數；
（2）當∠1為多少度時，OP=OD，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先證明PA=PB，求出∠PAB，∠PBA的度數即可解決問題．
（2）當∠1=30°時，OP=OD．只要證明∠OPD=∠D=30°即可．

解答 解：（1）∵AC是直徑，PA、PB是圓的切線
∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠1=20°，
∴∠PAB=70°，
∴∠PBA=∠PAB=70°，
∴∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=40°；

（2）結論：當∠1=30°時，OP=OD．
理由：∵∠1=30°，OA=OB，
∴∠1=∠OBA=30°，∠AOB=120°，
∵PA、PB是⊙O切線，
∴PA=PB，∵OA=OB，
∴OP垂直平分線段AB，
∴∠AOP=∠POB=60°，
∴∠DOB=180°-120°=60°，
∵∠OBP=∠OBD=90°，
∴∠D=∠OPD=30°，
∴OP=OD．

點評 本題考查了切線的性質、切線長定理、線段的垂直平分線的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，本題解法比較多，屬于中考常考題型．