Question

16．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，以AB為直徑的圓交BC于點F．以C為圓心，CF長為半徑作圖，D是⊙C上一動點，E為BD的中點，當AE最大時，BD的長為（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{3}+2$
• D． 12

Answer 1

分析 點D在⊙C上運動時，點E在以F為圓心的圓上運到，要使AE最大，則AE過F，連接CD，由△ABC是等邊三角形，AB是直徑，得到EF⊥BC，根據三角形的中位線的性質得到CD∥EF，根據勾股定理即可得到結論．

解答 解：點D在⊙C上運動時，點E在以F為圓心的圓上運到，要使AE最大，則AE過F，
連接CD，∵△ABC是等邊三角形，AB是直徑，
∴EF⊥BC，
∴F是BC的中點，
∵E為BD的中點，
∴EF為△BCD的中位線，
∴CD∥EF，
∴CD⊥BC，
BC=8，CD=4，
故BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{64+16}$=4$\sqrt{5}$，
故選B．

點評 本題考查了軌跡，等邊三角形的性質，圓周角定理，三角形的中位線的性質，正確的作出輔助圓是解題的關鍵．