Question

16．在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足為F，若EF=1，則正方形的邊長為2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先由正方形ABCD中，∠BAE=22.5°，證得DA=DE，設(shè)正方形的邊長為x，得出DE=AD=x，BD=$\sqrt{2}$x．由勾股定理求出BE，得出BD=x+$\sqrt{2}$，得出方程，解方程即可．

解答 解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°．
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=67.5°，
∴∠DEA=67.5°．
∴DA=DE，
設(shè)正方形的邊長為x，
∴DE=AD=x，BD=$\sqrt{2}$x．
∵∠ABD=45°，EF⊥AB，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF=1，
∴BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$，
∴BD=DE+BE=x+$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$x=x+$\sqrt{2}$，
解得：x=2+$\sqrt{2}$，即
正方形的邊長為2+$\sqrt{2}$；
故答案為：2+$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．注意證得△ADE是等腰三角形是解此題的關(guān)鍵．