Question

1．在平面直角坐標系中，點A坐標為（1，0），線段OA繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，并且每次的長度增加一倍，例如：OA₁=2OA，∠A₁OA=45°．按照這種規律變換下去，點A₂₀₁₇的縱坐標為2²⁰¹⁶•$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據點A坐標為（1，0），線段OA繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，并且每次的長度增加一倍，可得A₁，A₉，A₁₇，…，A₂₀₁₇都在第一象限，再根據A₁的縱坐標為$\frac{2}{\sqrt{2}}$，A₉的縱坐標為$\frac{{2}^{9}}{\sqrt{2}}$，可得A₂₀₁₇的縱坐標為$\frac{{2}^{2017}}{\sqrt{2}}$，化簡即可．

解答 解：由題可得，360°÷45°=8，
∴A₁，A₉，A₁₇，…，A₂₀₁₇都在第一象限，
又∵OA₁=2OA=2，∠A₁OA=45°，
∴A₁的縱坐標為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
同理可得，A₉的縱坐標為$\frac{{2}^{9}}{\sqrt{2}}$，
∴A₂₀₁₇的縱坐標為$\frac{{2}^{2017}}{\sqrt{2}}$=2²⁰¹⁶•$\sqrt{2}$．
故答案為：2²⁰¹⁶•$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了坐標與圖形變化，旋轉的性質以及點的坐標，解決問題的關鍵是根據變換的規律進行求解．圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．