Question

9．如圖．⊙O的半徑為5，AB為⊙O直徑，C，F為⊙O上的兩點，AF，AC為⊙O的弦．
（1）如圖①，若點F，C把半圓三等分，求AC的長；
（2）如圖②，若C為$\widehat{FB}$的中點，過點C做⊙O的切線，與AF的延長線相交于點D，DC=4，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）若點F、C將圓三等分，則∠AOC=120°，過點O作OE⊥AC于點E，利用含30度的直角三角形的性質即可求出AC的長度．
（2）連接BF、CB，OC，由于CD是⊙O的切線，所以OC∥AD，

解答 解：（1）當F、C把圓三等分后，
此時∠AOC=120°，
過點O作OE⊥AC于點E，
∵OA=OC，
∴∠OAC=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理可知：AE=$\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
由垂徑定理可知：AC=2AE=5$\sqrt{3}$，
（2）連接BF、CB，
連接OC角BF于點E，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠DCO=90°，
∵點C平分$\widehat{FB}$，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∴∠D=90°，
過點C作CH⊥AB于點H，
∴DC=HC=4，
由勾股定理可知：OH=3，
∴AH=OH+OA=8，
∴由勾股定理可知：AC²=80
∴△ADC∽△ACB
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD
∴AD=8
∵點C平分$\widehat{FB}$，
∴由垂徑定理可知OC⊥BF
∴∠CEB=∠CHB=90°
∴∠OCH=∠OBE
在△COH與△EBO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OHC=∠BEO}\\{∠OCH=∠OBE}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△COH≌△EBO（AAS）
∴CH=EB=4，OH=OE=3，
∴AF=2OE=6，
∴DF=AD-AF=2

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，垂徑定理，勾股定理等知識，題目較為綜合，本題屬于中等題型．