Question

20．閱讀與思考
婆羅摩笈多（Brahmagupta），是一位印度數學家和天文學家，書寫了兩部關于數學和天文學的書籍，他的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位，他的負數概念及加減法運算僅晚于中國《九章算術》，而他的負數乘除法法則在全世界都是領先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內容及部分證明過程如下：
已知：如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC⊥BD于點P，PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，求證：CN=DN．
證明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．
∴∠BAP=∠BPM．
∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．
∴…
（1）請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成剩余的證明部分．
（2）已知：如圖2，△ABC內接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，點D在⊙O上，∠BCD=60°，連接AD，與BC交于點P，作PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，則PN的長為1．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質∠BAP=∠BPM．由圓周角定理得出∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．證出∠DPN=∠PDN，得出DN=PN，同理CN=PN，即可得出結論；
（2）由圓周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形內角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由AAS證明△CPD≌△APB，得出CD=AB=2，同（1）得出CN=DN，由三角形內角和定理得出PN=$\frac{1}{2}$CD=1即可．

解答 解：（1）在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．
∴∠BAP=∠BPM．
∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．
∴∠DPN=∠PDN，
∴DN=PN，
同理：CN=PN，
∴CN=DN；
（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，
∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°，
∴∠APC=180°-45°-45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠CPD=90°，
在△CPD和△APB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPD=∠APB}&{\;}\\{∠D=∠B}&{\;}\\{PC=PA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CPD≌△APB（AAS），
∴CD=AB=2，
∵∠CPD=90°，PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，
∴同（1）得：CN=DN，
∴PN=$\frac{1}{2}$CD=1；
故答案為：1．

點評 本題考查了等腰三角形的判定、圓周角定理、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理、直角三角形斜邊上的中線性質；熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的判定是解決問題的關鍵．