Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，下面四個結(jié)論：①$\frac{FG}{FB}$=$\frac{1}{2}$；②點F是GE的中點；③AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB；④S_△ABC=6S_△BDF．其中正確結(jié)論的序號是①③④．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意易證得△ABG≌△BCD（ASA），則AG=BD，AG=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例與BA=BC，繼而證得$\frac{AG}{AB}$=$\frac{FG}{FB}$=$\frac{1}{2}$；正確；繼而可得FG=$\frac{1}{2}$BF；即可得AF=$\frac{1}{3}$AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，即可求得AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB；則可得S_△ABC=6S_△BDF．

解答 解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
在△ABG和△BCD中$\left\{\begin{array}{l}{∠GAB=∠CBD}\\{AB=BC}\\{∠ABG=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
則AG=BD，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AG}{CB}$=$\frac{FG}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
故①正確；
∵AB=CB，點D是AB的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CB，
∵tan∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{AG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$FB，
∵GE≠BF，
∴點F不是GE的中點．
故②錯誤；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，
故③正確；
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{3}$AC，
∴S_△ABC=6S_△BDF，
故④正確．
故答案為：①③④．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應用．