Question

10．若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角是另一個等腰三角形底角的2倍，我們把這條對角線叫做這個四邊形的黃金線，這個四邊形叫做黃金四邊形．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD=DC，對角線AC，BD都是黃金線，且AB＜AC，CD＜BD，求四邊形ABCD各個內角的度數；
（2）如圖2，點B是弧AC的中點，請在⊙O上找出所有的點D，使四邊形ABCD的對角線AC是黃金線（要求：保留作圖痕跡）；
（3）在黃金四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度數．

Answer 1

分析 （1））先由對角線AC是黃金線，可知△ABC是等腰三角形，分兩種情況：①AB=BC，②AC=BC，第一種情況不成立，②設∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∠DAB=∠ADC=3x°，根據四邊形內角和列等式可得x的值，計算各角的度數；
（2）①以A為圓心，AC為半徑畫弧，交圓O于D₁，
②以C為圓心，AC為半徑畫弧，交圓O于D₂，
③連接AD₁、CD₁、AD₂、CD₂；
（3）先根據∠BAC=30°，計算∠ABC=120°，
分情況進行討論：
ⅰ）當AC為黃金線時，則AD=CD或AD=AC，根據等腰三角形的性質及黃金四邊形定義進行計算即可；
ⅱ）當BD為黃金線時，分三種情況：
①當AB=AD時；②當AB=BD時，③當AD=BD時，分別討論即可．

解答 解：（1）∵在四邊形ABCD中，對角線AC是黃金線，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB＜AC，
∴AB=BC或AC=BC，
①當AB=BC時，
∵AB=AD=DC，
∴AB=BC=AD=DC，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
此種情況不符合黃金四邊形定義，
②AC=BC，
同理，BD=BC，
∴AC=BD=BC，易證得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，
∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，
且∠DCA＜∠DCB，
∴∠DAC＜∠CAB
又由黃金四邊形定義知：∠CAB=2∠DAC，
設∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，
則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，
∴∠DAB=∠ADC=3x°，
而四邊形的內角和為360°，
∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，
答：四邊形ABCD各個內角的度數分別為108°，72°，108°，72°．
（2）由題意作圖為：

（3）∵AB=BC，∠BAC=30°，
∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，
ⅰ）當AC為黃金線時，
∴△ACD是等腰三角形，
∵AB=BC=CD，AC＞BC，
∴AD=CD或AD=AC，
當AD=CD時，則AB=BC=CD=AD，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，如圖3，此種情況不符合黃金四邊形定義，
∴AD≠CD，
當AD=AC時，由黃金四邊形定義知，∠ACD=∠D=15°或60°，
此時∠BAD=180°（不合題意，舍去）或90°（不合題意，舍去）；
ⅱ）當BD為黃金線時，
∴△ABD是等腰三角形，
∵AB=BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
①當AB=AD時，△BCD≌△BAD，
此種情況不符合黃金四邊形定義；
②當AB=BD時，AB=BD=BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠CBD=60°，
∴∠A=30°或120°（不合題意，舍去），
∴∠ABC=180°（不合題意，舍去），
此種情況也不符合黃金四邊形定義；
③當AD=BD時，設∠CBD=∠CDB=y°，則∠ABD=∠BAD=（2y）°或$（{\frac{y}{2}}）°$，
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，
當∠ABD=2y°時，y=40，
∴∠BAD=2y=80°；
當$∠ABD=（{\frac{y}{2}}）°$時，y=80°，
∴$∠BAD=\frac{y}{2}=40°$；
由于∠ADB=180°-40°-40°=100°，
∠BDC=80°，
∴∠ADB+∠BDC=180°，
∴此種情況不能構成四邊形，
綜上所述：∠BAD的度數為80°．

點評 此題是圓與三角形、四邊形的綜合題，考查了等腰三角形的性質和判定、平行四邊形的性質、菱形的性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．