Question

4．如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°．BC=AC．BD是∠ABC的角平分線，AE⊥BD，求證：BD=2AE．

Answer 1

分析 延長AE和BC交于F，根據角平分線的性質得到∠ABE=∠DBC，由垂直的定義得到∠BCD=∠AED=90°，根據全等三角形的性質得到BD=AF，AE=EF，于是得到結論．

解答 證明：延長AE和BC交于F，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACF=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBC，
∵AE⊥BE，
∴∠BCD=∠AED=90°，
∵∠BDC=∠ADE，
∴根據三角形內角和定理得：∠EAD=∠CBD，
在△BCD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CAF}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，
在△ABE和△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEA=∠BEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
即AF=2AE，
∴BE=2AE．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是求出BD=AF和 AE=EF，題目比較好，難度適中．