Question

19．如圖，直線y=$\frac{1}{5}$x-1與x軸、y軸分別相交于B、A，點M為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一點，若△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，求S_△MAB及k的值．

Answer 1

分析 直線y=$\frac{1}{5}$x-1與x軸、y軸分別相交于B、A，即可求得A、B兩點坐標；由△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，可求得AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，易求得∠MAD=∠MBC，即可利用AAS判定：△AMD≌△BMC，可得AD=BC，DM=CM，即可得OC=OD，又由OA=1，OB=5，即可求得點M的坐標，繼而求得k的值．

解答 解：作MD⊥y軸于點D．MC⊥x軸于點C．
∵直線y=$\frac{1}{5}$x-1與x軸，y軸分別相交于B、A，
∴當x=0時，y=-1；當y=0時，x=5，
∴A點坐標的坐標為（0，-1），B點坐標為（5，0）；
∵△AMB是以AB為底的等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°，
∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°，
∴∠MAD+∠OBA=45°，
∵∠MBC+∠OBA=45°，
∴∠MAD=∠MBC，
∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
在△AMD和△BMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠MBC}\\{∠ADM=∠BCM}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BMC（AAS）；
∴AD=BC，DM=CM，
∵∠COD=∠ODM=∠OCM=90°，
∴四邊形OCMD是正方形，
∵OA=1，OB=5，
則在直角△OAB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
則等腰△AMB中，AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{13}$．
則△MAB的面積是$\frac{1}{2}$AM•BM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{13}$×$\sqrt{13}$=$\frac{13}{2}$．
設OD=x，
則AD=x+1，BC=5-x，
∵AD=BC，
∴x+1=5-x，
解得：x=2，
即OD=OC=2，
∴點M的坐標為：（2，2），
∴k=xy=4．

點評 此題考查了反比例函數的應用、待定系數法求函數的解析式、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．