Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與一次函數y=kx+3的圖象交于C、D兩點，連接AC、BC．
（1）求△ABC的面積；
（2）小明研究發現：若連接BD，則存在點D，使△ABC≌△DBC，請你判定小明的發現是否正確，若正確請求出點D的坐標，若不正確請說明理由；
（3）若點P是一次函數y=kx+3圖象上的一個動點，當以A、B、P為頂點的等腰三角形有且只有4個時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）對于二次函數二次函數y=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3，令x=0得到y=3，令y=0，得到$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3=0，解得x=1或2，可得A（1，0），B （2，0），C（0，3），由此即可解決問題．
（2）小明的發現是錯誤的．理由全等三角形的性質求出點D的坐標，再判斷是否在拋物線上即可．
（3）如圖2中，分別以A、B為半徑1為半徑畫圓，當直線y=kx+3與⊙A相切時，以A、B、P為頂點的等腰三角形有且只有4個．求出切點P₁的坐標即可解決問題．

解答 解：（1）對于二次函數二次函數y=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3，令x=0得到y=3，令y=0，得到$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+3=0，解得x=1或2，
∴A（1，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=1，OB=2，OC=3，AB=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$．

（2）小明的發現是錯誤的．
理由：如圖1中，連接AD交BC于H．

假設存在點D，使得△ABC≌△DBC．設D（m，n）．
∵CA=CD，BA=BD，
∴BC垂直平分線段AD，
∵B（2，0），C（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3，直線AD的解析式為y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{22}{13}}\\{y=\frac{6}{13}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{22}{13}$，$\frac{6}{13}$），
∵AH=DH，
∴$\frac{1+m}{2}$=$\frac{22}{13}$，$\frac{0+n}{2}$=$\frac{6}{13}$，
∴m=$\frac{31}{13}$，n=$\frac{12}{13}$，
∴D（$\frac{31}{13}$，$\frac{12}{13}$），
∵x=$\frac{31}{13}$時，y═$\frac{3}{2}$•（$\frac{31}{13}$）²-$\frac{9}{2}$•$\frac{31}{13}$+3=$\frac{135}{169}$，
∴點D不在拋物線的圖象上，
∴小明的發現是錯誤的．

（3）如圖2中，分別以A、B為半徑1為半徑畫圓，當直線y=kx+3與⊙A相切于P₁時，以A、B、P為頂點的等腰三角形有且只有4個（見圖中）．

∵CO=CP₁，OA=AP₁
∴AC垂直平分線段OP₁，
∵直線AC的解析式為y=-3x+3，直線OP₁的解析式為y=$\frac{1}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=-3x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{10}}\\{y=\frac{3}{10}}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{9}{10}$，$\frac{3}{10}$），
∵OG=GP₁，
∴P₁（$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$），代入y=kx+3得到，k=-$\frac{4}{3}$．
∴滿足條件的k的值為-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、全等三角形的判定和性質、圓的有關知識，線段的垂直平分線的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會構建一次函數，利用方程組切點交點坐標，屬于中考壓軸題．