Question

9．如圖，已知反比例函數y₁=$\frac{k_1}{x}$與一次函數y₂=k₂x+b的圖象交于點A（1，8），B（-4，m）兩點．
（1）求k₁，k₂，b的值；
（2）求△AOB的面積；
（3）請直接寫出不等式$\frac{k_1}{x}≤{k_2}$x+b的解．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數解析式，再結合點B的橫坐標即可得出點B的坐標，根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出一次函數解析式；
（2）根據一次函數圖象上點的坐標特征即可求出一次函數圖象與y軸的交點坐標，再利用分割圖形法即可求出△AOB的面積；
（3）根據兩函數圖象的上下位置關系即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵反比例函數y=$\frac{k_1}{x}$與一次函數y=k₂x+b的圖象交于點A（1，8）、B（-4，m），
∴k₁=1×8=8，m=8÷（-4）=-2，
∴點B的坐標為（-4，-2）．
將A（1，8）、B（-4，-2）代入y₂=k₂x+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}+b=8}\\{-4{k}_{2}+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴k₁=8，k₂=2，b=6．
（2）當x=0時，y₂=2x+6=6，
∴直線AB與y軸的交點坐標為（0，6）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×1=15．
（3）觀察函數圖象可知：當-4＜x＜0或x＞1時，一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，
∴不等式$\frac{k_1}{x}≤{k_2}$x+b的解為-4≤x＜0或x≥1．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式；（2）利用分割圖形法求出△AOB的面積；（3）根據兩函數圖象的上下位置關系找出不等式的解集．