Question

20．如圖，E，F(xiàn)是菱形ABCD邊AB與AD上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E，F(xiàn)移動(dòng)的過(guò)程中，保持AE=FD，若∠B=60°，AB=4，則△CEF的面積是否存在最小值？如果存在，求出這個(gè)值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 首先證明△AFC≌△BEC（SAS）推出CF=CE，△ECF是等邊三角形，當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE的長(zhǎng)最小，最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，即可推出△ECF的面積的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（3$\sqrt{3}$）²；

解答 解：連接CA，如右圖所示，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，AE=DF，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=120°，
∴∠FAC=60°，BE=AF，AB=BC=AC，
在△AFC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠FAC=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEC（SAS）
∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，
又∵∠BCE+∠ECA=60°，
∴∠ECA+∠ACF=60°，
∴△ECF是等邊三角形；
當(dāng)CE⊥AB時(shí)，CE的長(zhǎng)最小，最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴△ECF的面積的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（3$\sqrt{3}$）²=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、最短路線問(wèn)題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．