Question

19．如圖，C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側作等邊△BAC與等邊△DCB，連接DH．
（1）如圖1，當∠DHC=90°，求$\frac{BC}{AC}$的值；
（2）在（1）的條件下，作點C關于直線DH的對稱點E，連接AE，BE，求證：CE平分∠AEB；
（3）現將圖1中△DCB繞點C順時針旋轉一定角度α（0°＜α＜90°）．如圖2，點C關于直線DH的對稱點為E，則（2）中的結論是否成立并證明．

Answer 1

分析 （1）根據△HAC與△DCB都是等邊三角形，可得∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，進而得出∠HDC=180°-∠DHC-∠HCD=30°，得出CD=2CH，即可得到BC=2AC，最后求得$\frac{BC}{AC}$的值；
（2）先由對稱性得∠EHD=90°，EH=HC，根據E，H，C三點共線，以及三角形外角性質，得出∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，由（1）可得BC=2CH=EC，得出∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ACE=30°，即可得出CE平分∠AEB；
（3）由對稱性可知：HC=HE，進而得出A，C，E都在以H為圓心，HA為半徑的圓上，據此得到∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，而同理可得，∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，最后得出EC平分∠AEB．

解答 解：（1）∵△HAC與△DCB都是等邊三角形，
∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，
∴∠HCD=180°-∠ACH-∠DCB=60°，
∵∠DHC=90°，
∴∠HDC=180°-∠DHC-∠HCD=30°，
∴CD=2CH，
∴BC=2AC，
∴$\frac{BC}{AC}$=2；

（2）如圖1，由對稱性得∠EHD=90°，EH=HC，
∵AH=HC，
∴EH=AH，
∵∠DHC=90°，
∴E，H，C三點共線，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，
由（1）可得BC=2CH=EC，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ACE=30°，
∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；

（3）結論仍然正確，理由如下：
如圖2，由對稱性可知：HC=HE，
又∵AH=HC，
∴HC=HA=HE，
∵A，C，E都在以H為圓心，HA為半徑的圓上，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AHC=30°，
同理可得，∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，
∴∠AEC=∠BEC，
∴EC平分∠AEB．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，圓周角定理以及軸對稱的性質的綜合應用，解題時注意：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；解題的關鍵是運用等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．