Question

7．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D為BC邊上一動點，點O是正方形ADEF的中心，當點D沿BC邊從點B運動到點C時，點O運動的路徑長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以點B為原點建立如圖所示坐標系，作EG⊥x軸，證△ABD≌△DGE得AB=DG=4、BD=EG=a，從而得E（4+a，a），根據(jù)線段的中點坐標知O（$\frac{a+4}{2}$，$\frac{a+4}{2}$），從而知點O在直線y=x上，由0≤a≤4知點O的橫坐標2≤x≤4、縱坐標滿足2≤y≤4，根據(jù)兩點間的距離公式可得答案．

解答 解：如圖，以點B為原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
過點E作EG⊥x軸于點G，連接AE，

根據(jù)題意知，點A（0，4）、C（4，0），
∵∠ABD=∠ADE=∠DGE=90°，
∴∠ADB+∠EDG=∠ADB+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠EDG，
在△ABD和△DGE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠EDG}\\{∠ABD=∠DGE=90°}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DGE（AAS），
∴AB=DG=4，BD=EG，
設(shè)BD=EG=a，
則BG=BD+DG=4+a，
∴點E（4+a，a），
∵點O為正方形ADEF的中心，即點O為AE的中點，
∴點O（$\frac{0+4+a}{2}$，$\frac{4+a}{2}$），即O（$\frac{a+4}{2}$，$\frac{a+4}{2}$），
則無論a為任意實數(shù)，點O的橫縱坐標相等，即點O在直線y=x上，
∵0≤a≤4，
∴2≤$\frac{a+4}{2}$≤4，即點O的橫坐標2≤x≤4、縱坐標滿足2≤y≤4，
則點O的運動路徑長為$\sqrt{（4-2）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查點的運動軌跡，考查的知識點有等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及兩點間的距離公式等，運用數(shù)形結(jié)合思想表示出點O的坐標，得出其運動的軌跡是解題的關(guān)鍵．