Question

18．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB中點，∠MDN=90°，DM交AC于點E，DN交BC于點F．
（1）求證：△ABC∽△FED；
（2）若AC=3，BC=4，求△FDE外接圓面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接CD，根據直角三角形的性質得到AD=BD=CD，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，推出點C，E，D，F四點共圓，根據圓周角定理得到∠DCB=∠DEF，∠ECD=∠DFE，等量代換得到∠DEF=∠B，于是得到結論；
（2）如圖2，根據圓周角定理得到EF是△FDE外接圓的直徑，當EF取最小值時，△FDE外接圓面積的最小，推出當DE⊥AC，DF⊥BC時，DE與DF的值最小，由DM與DN分別是AC，BC的垂直平分線，得到CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$BC=2，根據勾股定理得到EF=$\frac{5}{2}$，于是得到△FDE外接圓面積的最小值=（$\frac{5}{4}$）²π=$\frac{25}{16}$π．

解答 解：（1）如圖1，連接CD，
∵Rt△ABC中，點D為BC中點，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∵∠MDN=90°，∠ACB=90°，
∴點C，E，D，F四點共圓，
∴∠DCB=∠DEF，∠ECD=∠DFE，
∴∠DEF=∠B，
∴△ABC∽△FED；
（2）如圖2，∵∠EDF=90°，
∴EF是△FDE外接圓的直徑，
當EF取最小值時，△FDE外接圓面積的最小，
在Rt△EDF中，∵EF²=DE²+DF²，
∴DE與DF取最小值時，EF最小，
∴當DE⊥AC，DF⊥BC時，DE與DF的值最小，
∴DM與DN分別是AC，BC的垂直平分線，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴EF=$\frac{5}{2}$，
∴△FDE外接圓面積的最小值=（$\frac{5}{4}$）²π=$\frac{25}{16}$π．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了二次函數的最值問題，本題中求證△AED≌△CFD是解題的關鍵．