Question

17．如圖，四邊形ADBC中，∠D、∠C為直角，G、I分別是△ABC、△ABD的內(nèi)心，延長AG、BG、AI、BI交四邊于Q、E、P、F，如果四邊形GAIB的面積為17，求六邊形EAFPBQ的面積．

Answer 1

分析 如圖，在線段AB上分別截取AM=AE，BN=BQ，連接GM、GN，作QH⊥BE于H，ND⊥GM于D．只要證明六邊形EAFPBQ的面積=2•四邊形GAIB的面積即可解決問題．

解答 解：如圖，在線段AB上分別截取AM=AE，BN=BQ，連接GM、GN，作QH⊥BE于H，ND⊥GM于D．

在△AGE和△AGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{∠GAE=∠GAM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△GAE≌△GAM，
∴GE=GM，∠AGE=∠AGM，
同理可證△GBQ≌△GBN，可得GQ=GN，
∵∠C=90°，∠GAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠GBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠QCB=∠AGE=∠GAB+∠GBA=45°，
∴∠EGM=∠QGN=90°，
∴∠EGQ+∠MGN=180°，∵∠EGQ+∠QGB=180°，
∴∠QGH=∠MGN，
∵S_△EGQ=$\frac{1}{2}$•EG•QG•sin∠QGH，S_△MNG=$\frac{1}{2}$•GM•GN•sin∠MGN，
∴S_△EGQ=S_△MGN，S_△AMG=S_△AGE，S_△GBN=S_△GBQ，
∴S_△ABG=S_△AEG+S_△EQG+S_△GBQ，
同理可證S_△ABI=S_△AIF+S_△IPF+S_△BIP，
∴六邊形EAFPBQ的面積=2•四邊形GAIB的面積=34．

點評 本題考查三角形的內(nèi)心，三角形的面積，四邊形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題嗎，屬于中考壓軸題．