Question

2．如圖，四邊形ABCD是一個菱形綠草地，其周長為40$\sqrt{2}$m，∠ABC=120°，在其內部有一個矩形花壇EFGH，其四個頂點恰好在菱形ABCD各邊中點，現準備在花壇中種植茉莉花，其單價為30元/²，則需投資資金多少元？（$\sqrt{3}$取1.732）

Answer 1

分析 根據菱形的性質，先求出菱形的一條對角線，由三角形的中位線定理，求出矩形的一條邊，同理求得另一邊，再求出矩形的面積，最后求得投資資金．

解答 解：解：如圖，連接AC、BD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°，
又∵AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∵菱形的周長是40 $\sqrt{2}$m，
∴AB=40 $\sqrt{2}$÷4=10 $\sqrt{2}$m，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=5 $\sqrt{2}$m，
OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}-（5\sqrt{2}）^{2}}$=5 $\sqrt{6}$m，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=OB=5 $\sqrt{2}$m，
EF=$\frac{1}{2}$AC=OA=5 $\sqrt{6}$m，
所以，S_矩形EFGH=5 $\sqrt{6}$×5 $\sqrt{2}$=50 $\sqrt{3}$m²，
∵單價是30元/m²，
∴需投入資金30×50 $\sqrt{3}$=1500 $\sqrt{3}$≈2598元．

點評 本題考查了二次根式的應用，勾股定理，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質與定理是解題的關鍵．