Question

17．在菱形ABCD中，∠BAD=120°，射線AP位于該菱形外側，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE、DE，直線DE與直線AP交于F，連接BF，設∠PAB=α．
（1）依題意補全圖1；
（2）如圖1，如果0°＜α＜30°，判斷∠ABF與∠ADF的數量關系，并證明；
（3）如圖2，如果30°＜α＜60°，寫出判斷線段DE，BF，DF之間數量關系的思路；（可以不寫出證明過程）
（4）如果60°＜α＜90°，直接寫出線段DE，BF，DF之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據題目要求補全圖形即可；
（2）連接AE．由軸對稱圖形的性質可知EA=AB，∠ABF=∠AEF，由菱形的定義可知AB=AD，從而得到AE=AD，由等腰三角形的性質可知∠AEF=∠ADF，于是得到∠ABF=∠ADF；
（3）由軸對稱圖形的性質可知EF=BF，然后由DF=ED-EF，可知DF=ED-BF；
（4）由軸對稱圖形的性質可知EF=BF，然后由EF=ED+DF，可知BF=DE+DF．

解答 解：（1）如圖1所示：

（2）∠ABF=∠ADF．
理由：如圖2所示：連接AE．

∵點B與點E關于直線PA對稱，
∴EA=AB，∠ABF=∠AEF．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∴AE=AD．
∴∠AEF=∠ADF．
∴∠ABF=∠ADF．
（3）DF=ED-BF．
理由：如圖3所示：

∵點B與點E關于PA對稱，
∴EF=BF．
又∵DF=ED-EF，
∴DF=ED-BF．
（4）BF=DE+DF．
理由：如圖4所示：

∵點B與點E關于PA對稱，
∴EF=BF．
又∵EF=ED+DF，
∴BF=DE+DF．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了菱形的性質、軸對稱圖形的性質、等腰三角形的性質，由菱形的性質和軸對稱圖形的性質得到AE=AD是解題的關鍵．