Question

8．如圖，將邊長為4的正方形ABCD折疊，使B點落在邊AD上，記作B′（不與A、D重合）、EF為折痕，設AB′=x．
（1）用x的代數式表示BE的長；
（2）設四邊形BCFE的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出定義域．

Answer 1

分析 （1）設BE=B'E=y，在RT△AEB′中利用勾股定理即可得出答案．
（2）作FM⊥AB垂足為M，由△ABB′≌△MFE得AB′=EM=x得出CF=BM=BE-EM，求出四邊形BCFE的面積為S即可．

解答 解：（1）設BE=B'E=y，
因此有：x²+（4-y）²=y²，
整理得：y=$\frac{1}{8}$x²+2；
（2）如圖作FM⊥AB垂足為M，
∵四邊形EB′C′F是由四邊形EBCF翻折得到，
∴EF⊥BB′，
∴∠ABB′+∠BEF=90°，∠BEF+∠MFE=90°，
∴∠ABB′=∠MFE，
∵A四邊形BCD是正方形，
∴∠MBC=∠C=∠BMF=90°，
∴四邊形MFCB是矩形，
∴MF=BC=AB，
在△ABB′和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABB′=∠MFE}\\{AB=MF}\\{∠A=∠EMF}\end{array}\right.$，
∴△ABB′≌△MFE，
∴ME=AB′=x，
∴FC=BM=EB-EM=$\frac{1}{8}$x²-x+2，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{8}{x}^{2}+2+\frac{1}{8}{x}^{2}-x+2$）•4=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+8（0＜x＜4）．

點評 此題考查了翻折變換、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、梯形的面積的求法等知識，利用翻折不變性是解題的關鍵．