Question

3．如圖所示，拋物線y=ax²+x+c（a≠0）與x軸交于點A（-2，0）、點B（6，0），與y軸交于點C．
（1）求出此拋物線的解析式及對稱軸方程．
（2）在拋物線上有一點D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標，并求出直線AD的解析式．
（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M，拋物線上有一動點P，x軸上有一動點Q，是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可將A，B兩點的坐標代入函數的解析式中，可求出拋物線的解析式．進而求出對稱軸方程；
（2）四邊形ABDC為等腰梯形可知，C、D縱坐標相等可求得D點坐標，根據A、D坐標用待定系數法可求出直線解析式；
（3）分兩大類共四種情況，第①類P與M的縱坐標相等，第②類P與M的縱坐標互為相反數分別計算，可得P的坐標．

解答 解：（1）根據題意，得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2+c=0}\\{36a+6+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$，
∵y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=$-\frac{1}{4}（x-2）^{2}+4$，
∴對稱軸方程為：x=2；
（2）∵四邊形ABDC為等腰梯形，
∴C、D兩點縱坐標相等，等于3；
在函數：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中當y=3時，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=3，
解得：x₁=0，x₂=4，
故D點坐標為（4，3），
設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線經過點A（-2，0）、點D（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
直線AD的解析式為 $y=\frac{1}{2}x+1$；
（3）存在，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{x=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
故點M（2，2）．
①如圖1，

若四邊形AQPM為平行四邊形，則PM∥AQ，即PM∥x軸，
∴P與M的縱坐標相等，
在y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中，當y=2時，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=2，解得：$x=2±2\sqrt{2}$，
故此時點P坐標為：$（2+2\sqrt{2}，2）$或$（2-2\sqrt{2}，2）$；
②如圖2，

過點P作PN⊥AQ垂足為N，則∠AEM=∠PNQ=90°，
∵四邊形AQPM為平行四邊形，
∴AM=PQ，∠MAE=∠PQN，
在△AME和△QPN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠PQN}\\{∠AEM=∠PNQ}\\{AM=QP}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△QPN（AAS），
∴ME=PN，
故M、P的縱坐標互為相反數，
在y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$中，當y=-2時，有$-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$=-2，解得：$x=2±2\sqrt{6}$，
故此時點P的坐標為：$（2+2\sqrt{6}，-2）$或$（2-2\sqrt{6}，-2）$；
綜上，點P的坐標為：$（2+2\sqrt{2}，2）$、$（2-2\sqrt{2}，2）$、$（2+2\sqrt{6}，-2）$、$（2-2\sqrt{6}，-2）$．

點評 本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式及四邊形與二次函數相關綜合知識，分類討論是解題關鍵，找出滿足條件的所有點的坐標是難點．