Question

15．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，現將△ABC繞著頂點B旋轉，記點C的對應點為點C₁，當點A，B，C₁三點共線時，求∠BC₁C的正切值=3或$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB垂足為E，根據題意有兩種情形，分別在RT△CEC₁和RT△CEC₁′根據正切值的定義求出．

解答 解：如圖作CE⊥AB，垂足為E，
情形①當點C₁在線段AB上時，
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴EB=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵BC=BC₁，
∴EC₁=BC₁-EB=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠BC₁C=$\frac{EC}{E{C}_{1}}$=3．
情形②當C₁′在AB的延長線上時，tan∠BC₁′C=$\frac{EC}{E{C}_{1}′}$=$\frac{\frac{12}{5}}{4+\frac{16}{5}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為3或$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查正切值的定義、勾股定理、旋轉的有關概念，正確作出圖形是解決問題的關鍵．