Question

7．如圖1，已知拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c與x軸相交于A、B兩點，并與直線y=$\frac{1}{2}$x-2交于B、C兩點，其中點C是直線y=x-2與y軸的交點，連接AC．
（1）點B的坐標是（4，0）；點C的坐標是（0，-2）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設點E是線段CB上的一個動點（不與點B、C重合），直線EF∥y軸，交拋物線與點F，問點E運動到何處時，線段EF的長最大？并求出EF的長的最大值；
（4）如圖2，點D是拋物線的頂點，判斷直線CD是否是經過A、B、C三點的圓的切線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先令x=0，y=0，求出點C，B坐標，
（2）把點C，B坐標代入拋物線求出a，c的值即可，
（3）由點在直線BC上設出點E的坐標，表示出線段EF的長度，運用二次函數最大值的知識求出點E的位置，
（4）先判斷出AB是經過A、B、C三點的圓的直徑，確定圓心，連接圓心和切點，證明垂直即可．

解答 解：（1）由題意知直線y=$\frac{1}{2}$x-2交x軸、y軸于點B、C兩點，
∴B（4，0），C（0，-2），
（2）∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c經過點B，C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=16a-6+c}\\{-2=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$；
（3）如圖1：

設點E（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∵直線EF∥y軸，
∴點F（x，$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$），
EF=$\frac{1}{2}$x-2-（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$），
EF=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$=$-\frac{1}{2}（x-2）^{2}+2$，
所以當x=2時，EF有最大值是2，
此時E（2，-1），EF的最大值為2；
（4）如圖2：

∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c與x軸相交于A、B兩點，
令y=0，得ax²-$\frac{3}{2}$x+c=0，
解得：x=-1，或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，0B=4，
∴tan∠ACO=tan∠CBO=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AB是經過A、B、C三點的圓的直徑，
設圓心Q，則Q（$\frac{3}{2}$，0），連接QC，過點D作DE⊥y軸，垂足為E，連接QD，
y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$頂點坐標為D（$\frac{3}{2}$，$-\frac{25}{8}$），
可求CE=-2-（$-\frac{25}{8}$）=$\frac{9}{8}$，ED=$\frac{3}{2}$，CD=$\frac{15}{8}$，CQ=$\sqrt{O{C}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，QD=$\frac{25}{8}$，
計算得：CD²+CQ²=DQ²，
∴∠QCD=90°，
∴直線CD是經過A、B、C三點的圓的切線．

點評 此題主要考查二次函數的綜合問題，會求函數與坐標軸的交點，會用點的坐標表示線段長度，知道運用二次函數解決最值問題，熟悉圓的切線的證明是解題的關鍵．