Question

19．如圖，已知二次函數y=ax²-4x+c的圖象經過點A（-1，0）和點D（5，0）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）直接寫出該拋物線的對稱軸及頂點C的坐標；
（3）拋物線上是否存在點P使得△ADP的面積等于15？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法把點A（-1，0）和D（5，0）．代入二次函數y=ax²-4x+c中，可以解得a，c的值，從而求得函數關系式；
（2）根據（1）中的函數解析式，利用配方法求出對稱軸及頂點坐標．
（3）設點P坐標（x，x²-4x-5），根據△ADP的面積等于15得出x的值，從而得出點P的坐標．

解答 解：（1）根據題意，得$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=0}\\{25a-20+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴所求二次函數的解析式為y=x²-4x-5；
（2）y=x²-4x-5；=（x-2）²-9，
∴頂點C坐標為（2，-9），
對稱軸為直線x=2．
（3）假設存在點P，使△ADP的面積等于15，設點P坐標（x，x²-4x-5），
∵△ADP的面積等于15，
∴$\frac{1}{2}$AD•|y_P|=15，
∴$\frac{1}{2}$×6×|x²-4x-5|=15，
∴|x²-4x-5|=5，
∴x²-4x-5=5或-5，
∴當x²-4x-5=5時，x=2±$\sqrt{14}$，P₁（2+$\sqrt{14}$，5），P₂（2-$\sqrt{14}$，5）
當x²-4x-5=5時，x=0或4，P₃（0，-5），P₄（4，-5）
∴存在點P，使△ADP的面積等于15，點P的坐標P₁（2+$\sqrt{14}$，5），P₂（2-$\sqrt{14}$，5），P₃（0，-5），P₄（4，-5）．

點評 本題考查了拋物線和x軸的交點問題，以及用待定系數法求函數解析式的方法，同時還考查了方程組的解法，三角形面積的求法等知識，難度中等．