Question

11．大慶素有百湖之城的美稱，如圖所示．在臨湖高出水面50米的塔AB頂層A處望見一艘飛艇停留在平靜的湖面上空某處．觀察到艇底部醒目標志陽目志P處的仰角為45°，又觀察到其在湖中的影像的俯角為60°，試求飛艇距湖面的高度h（結果可用含根號的式子表示）．

Answer 1

分析 設AC=x，則PC=AC=x，根據山頂A處高出水面50m，得出DC=50，DP′=x+50，根據∠P′AC=60°，得出P′C=$\sqrt{3}$x，DP′=$\sqrt{3}$x-50，從而列出方程，求出x的值，即可求得飛艇距湖面的高度h．

解答 解：點P在湖中的影像為P′，如右圖所示，
設AC=xm，
在Rt△ACP中∠PAC=45°，則∠P=45°，
所以PC=AC=x，
∵山頂A處高出水面50m，
∴DC=50，
∴DP′=DP=PC+DC=x+50，
∵∠P′AC=60°，
∴P′C=tan60°•AC=$\sqrt{3}$x，
∴DP′=P′C-DC=$\sqrt{3}$x-50，
∴x+50=$\sqrt{3}$x-50，
x=50（$\sqrt{3}$+1），
∴h=PD=50$\sqrt{3}$+100，
答：飛艇離湖面的高度是（50$\sqrt{3}$+100）m．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解題的關鍵是能借助俯角、仰角構造直角三角形并根據數形結合的思想利用三角函數解直角三角形．