Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點D、E，且∠CBD=∠A．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AD：AO=8：5，BC=3，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質和已知得出∠ODA=∠CBD，由直角三角形的性質得出∠CBD+∠CDB=90°，因此∠ODA+∠CDB=90°，得出∠ODB=90°，即可得出結論；（2）設AD=8k，則AO=5k，AE=2OA=10k，由圓周角定理得出∠ADE=90°，△ADE∽△BCD，得出對應邊成比例$\frac{AE}{AD}=\frac{BD}{BC}$，即可求出BD的長．

解答 解：（1）BD是⊙O的切線；理由如下：
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
∵∠CBD=∠A，
∴∠ODA=∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
即BD⊥OD，
∴BD是⊙O的切線；
（2）設AD=8k，則AO=5k，AE=2OA=10k，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，
又∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{BD}{BC}$，
即$\frac{10k}{8k}=\frac{BD}{3}$，
解得：BD=$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質；熟練掌握切線的判定方法，證明三角形相似得出比例式是解決問題（2）的關鍵．