Question

1．三個全等的直角梯形①、②、③在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過梯形的頂點A、B、C、D，已知梯形的兩條底邊長分別為4，6，則梯形的兩腰長分別為2、2$\sqrt{2}$，該拋物線解析式為y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6$．

Answer 1

分析 如圖所示：過A作AH⊥OB，垂足為H．先證明梯形ABOE為直角梯形，然后由全等圖形的性質(zhì)可知∠ABH=∠BOF=∠DOF=45°，在△AHB中由特殊銳角三角函數(shù)值可求得AB=2$\sqrt{2}$，EO=AH=2，從而得到點A的坐標(biāo)為（-2，4），由題可知點B（0，6）、D（6，0），設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將點A、B、D的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，然后求得a、b、c的值，從而可求得拋物線的解析式．

解答 解：如圖所示：過A作AH⊥OB，垂足為H．

∵∠BOE=90°，
∴梯形AEBO為直角梯形．
∴BH=BO-HO=6-4=2．
∵三個梯形全等，
∴∠ABH=∠BOF=∠DOF，
∵∠BOF+FOD=90°，
∴∠ABH=∠BOF=∠DOF=45°．
∴AB=$\sqrt{2}$BH=2$\sqrt{2}$，AH=BH=2．
∵EO=AH，
∴EO=2．
∵AE=4，EO=2，
∴點A的坐標(biāo)為（-2，4）．
∵OB=OD=6，
∴B（0，6）、D（6，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
將點A、B、D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=4}\\{c=6}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6$．
故答案為：2、2$\sqrt{2}$；y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要利用了梯形的性質(zhì)、全等圖形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，由全等圖形的性質(zhì)求得∠ABH=45°，利用特殊銳角三角函數(shù)值求得BH和AH的長是解題的關(guān)鍵．