Question

13．如圖，已知⊙O的半徑為2，C為直徑AB延長線上一點，BC=2．過C任作一直線l．若l上總存在點P，使過P所作的⊙O的兩切線互相垂直，則∠ACP的最大值等于45°．

Answer 1

分析 根據切線的性質和已知條件先證得四邊形PMON是正方形，從而求得OP=2$\sqrt{2}$，以O為圓心，以2$\sqrt{2}$長為半徑作大圓⊙O，然后過C點作大⊙O的切線，切點即為P點，此時∠ACP有最大值，作出圖形，根據切線的性質得出OP⊥PC，根據勾股定理求得PC的長，從而證得△OPC是等腰直角三角形，即可證得∠ACP的最大值為45°．

解答 解：∵PM、PN是過P所作的⊙O的兩切線且互相垂直，
∴∠MON=90°，
∴四邊形PMON是正方形，
根據勾股定理求得OP=2$\sqrt{2}$，
∴P點在以O為圓心，以2$\sqrt{2}$長為半徑作大圓⊙O上，
以O為圓心，以2$\sqrt{2}$長為半徑作大圓⊙O，然后過C點作大⊙O的切線，切點即為P點，此時∠ACP有最大值，如圖所示，
∵PC是大圓⊙O的切線，
∴OP⊥PC，
∵OC=4，OP=2$\sqrt{2}$，
∴PC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OP=PC，
∴∠ACP=45°，
∴∠ACP的最大值等于45°，．
故答案為45°．

點評 本題考查了切線的性質，正方形的判定和性質，勾股定理的應用，解題的關鍵是求得P點的位置．