Question

5．點P在圖形M上，點Q在圖形N上，記d_max（M，N）為線段PQ長度的最大值，d_min（M，N）為線段PQ長度的最小值，圖形M、N的平均距離Ed（M，N）=$\frac{{{d_{max}}（M，N）+{d_{min}}（M，N）}}{2}$．已知A（0，0），B（2，0），C（4，2），線段AB以每秒1個單位的速度沿著x軸正方向勻速運動．

（1）如圖1，求經過1秒后，Ed（C，AB）；
（2）寫出線段AB在運動過程中Ed（C，AB）關于時間t的函數解析式；
（3）如圖2，已知拋物線的一部分m：y=（x-2）²+$\frac{9}{4}$（0≤x≤2）和線段EF：y=-x+1（0≤x≤1），求Ed（EF，m）．

Answer 1

分析 （1）求出當t=1時A、B、C的坐標，再求出AC及BC的值，進而可得出結論；
（2）分t＜2或t＞4；2＜t＜3；3＜t＜4三種情況進行討論；
（3）設與EF平行且與拋物線只有一個公共點的D的直線L的解析式為y=-x+b，聯立兩直線的解析式得出D點坐標，過點D且垂直于直線EF的解析式為y=x+1，故d_min（EF，m）=DE，d_max（EF，m）=HF，由此可得出結論．

解答 解：（1）∵當t=1時，A（1，0），B（3，0），C（4，2）．
∴d_max=AC=$\sqrt{13}$，d_min=BC=$\sqrt{5}$，
∴Ed（C，AB）=$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{2}$；

（2）依題意得 A（t，0），B（t+2，0）
當t＜2或t＞4時，Ed（C，AB）=$\frac{\sqrt{（4-t）^{2}+4}+\sqrt{（t-2）^{2}+4}}{2}$；
當2＜t＜3時，Ed（C，AB）=$\frac{\sqrt{{（4-t）}^{2}+4}+2}{2}$； 
當3＜t＜4時，Ed（C，AB）=$\frac{2+\sqrt{{（t-2）}^{2}+4}}{2}$．

（3）如圖，設與EF平行且與拋物線只有一個公共點的D的直線L的解析式為y=-x+b，
由-x+b=（x-2）²+$\frac{9}{4}$，令△=0，得b=4，即L為：y=-x+4
由又∵$\left\{\begin{array}{l}y=-x+4\\ y=（x-2）^{2}+\frac{9}{4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
過點D且垂直于直線EF的解析式為：y=x+1
∵y=x+1與y=-x+1交于點E（0，1）
∴d_min（EF，m）=DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
又∵拋物線與y軸交于點H，
∴d_max（EF，m）=HF=$\frac{\sqrt{641}}{4}$，
∴Ed（EF，m）=$\frac{6\sqrt{2}+\sqrt{641}}{8}$．

點評 本題考查的是二次函數綜合題，涉及到直線與拋物線相切與垂直的問題，解題的關鍵是正確理解題中最大值、最小值與平均值的表示方法．