Question

5．如圖，以扇形AOB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），∠AOB=45°．現從$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中隨機選取一個數記為a，則a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點，又使得關于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數的概率是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根據題意可以求得點A的坐標，由關于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數可以求得a的取值范圍，拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點，可以求得相應的a的取值范圍，從而可以得到滿足a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點，又使得關于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數的a的取值范圍，從而可以得到符合要求的a的值，進而求得概率是多少．

解答 解：由已知可得，OB=2，OA=2，∠AOB=45°，
則點A的橫坐標為：OA•cos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，縱坐標為：OA•sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
即點A的坐標為：（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
∵$\frac{ax+1}{x-2}=-1$，
解得x=$\frac{1}{a+1}$，
∴方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數時，$\frac{1}{a+1}＞0$且$\frac{1}{a+1}≠2$，得a＞-1且a$≠-\frac{1}{2}$，
又∵拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{×（\sqrt{2}）}^{2}+a≤\sqrt{2}}\\{\frac{1}{2}×{2}^{2}+a≥0}\end{array}\right.$
解得$-2≤a≤\sqrt{2}-1$，
∴a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點，又使得關于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數時滿足的條件是：-1＜a＜$\sqrt{2}-1$且a$≠-\frac{1}{2}$，
∴從$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中隨機選取一個數記為a，符合要求的只有0，
∴從$-2，-\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$中隨機選取一個數記為a，則a的值既使得拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+a$與扇形AOB的邊界有公共點，又使得關于x的方程$\frac{ax+1}{x-2}=-1$的解是正數的概率是：$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、解不等式組和解方程、概率，解題的關鍵是明確題意，可以求出符合要求的a的取值范圍，會計算概率．