Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P以每秒一個單位的速度從點A出發，沿對角線AC向點C移動，同時動點Q以相同的速度從點C出發，沿邊CB向點B移動．設P，Q兩點移動時間為t秒（0≤t≤4）．
（1）用含t的代數式表示線段PC的長是5-t；
（2）當△PCQ為等腰三角形時，求t的值；
（3）以BQ為直徑的圓交PQ于點M，當M為PQ的中點時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理求出AC，根據題意用t表示出AP，結合圖形計算即可；
（2）分CP=CQ、QP=QC、PQ=PC三種情況，根據等腰三角形的性質和相似三角形的判定和性質計算即可；
（3）連接BP、BM，根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的三線合一得到BP=BQ，根據勾股定理用t表示出BP、BQ，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵點P的速度是每秒一個單位，移動時間為t秒，
∴AP=t，
則PC=AC-AP=5-t，
故答案為：5-t；
（2）當CP=CQ時，t=5-t，
解得t=$\frac{5}{2}$，
當QP=QC時，過點Q作QH⊥AC于H，如圖1，
則PH=HC=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（5-t），QC=t，
∵QH⊥AC，∠B=90°，
∴△CHQ∽△CBA，
∴$\frac{CH}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{\frac{1}{2}（5-t）}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{25}{13}$，
當PQ=PC時，如圖2，
過點P作PN⊥QC于N，
則NC=NQ=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$t，
∵△CPN∽△CAB，得
$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CN}{CB}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{4}$，
解得t=$\frac{40}{13}$，
綜上所述，當t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{25}{13}$或t=$\frac{40}{13}$時，△PCQ為等腰三角形；
（3）連接BP、BM，如圖3，則∠BMQ=90°，
∵M為PQ的中點，
∴BP=BQ，
過點P作PK⊥AB于K，
∵AP=t，
∴PK=$\frac{4}{5}$t，AK=$\frac{3}{5}$t，
∴BK=3-$\frac{3}{5}$t，
在Rt△BPK中，PB²=PK²+BK²=（3-$\frac{3}{5}$t）²+（$\frac{4}{5}$t）²，又BQ=4-t，
∴（4-t）²=（3-$\frac{3}{5}$t）²+（$\frac{4}{5}$t）²，
解得t=$\frac{35}{22}$．
∴以BQ為直徑的圓交PQ于點M，當M為PQ的中點時，t的值為$\frac{35}{22}$．

點評 本題考查的是矩形的性質、等腰三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質，掌握相關的性質定理、靈活運用數形結合思想、正確作出輔助線是解題的關鍵．