Question

12．已知：如圖，菱形ABCD，對角線AC、BD交于點O，BE⊥DC，垂足為點E，交AC于點F．求證：
（1）△ABF∽△BED；
（2）$\frac{AC}{BE}$=$\frac{BD}{DE}$．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的關系得：∠DBE=∠FCE，證出△BED∽△CEF，即可得出結論；
（2）由平行線得出$\frac{AC}{BE}=\frac{AF}{BF}$，由相似三角形的性質得出$\frac{BD}{DE}=\frac{AF}{BF}$，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∵BE⊥DC，
∴∠FEC=∠BED，
由互余的關系得：∠DBE=∠FCE，
∴△BED∽△CEF，
∴△ABF∽△BED；
（2）∵AB∥CD，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{BF}{BE}$，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AF}{BF}$，
∵△ABF∽△BED，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{AF}{BF}$，
∴$\frac{AC}{BE}$=$\frac{BD}{DE}$．

點評 本題考查了菱形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理；熟練掌握菱形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．