Question

1．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACB外角與內角∠ABC平分線交點，E是∠ABC，∠ACB外角平分線交點，若∠BOC=120°，則∠D=（　　）度．

• A． 15°
• B． 20°
• C． 25°
• D． 30°

Answer 1

分析 根據角平分線的定義有∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠0CB，根據三角形內角和定理得2∠OBC+2∠OCB+∠A=180°，即有∠OCB+∠OBC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，再根據三角形內角和定理得到∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，于是有∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即可得到∠BOC的度數，三角形外角的性質有∠FCD=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，則2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，即可得到∠D=$\frac{1}{2}$∠A，于是得到∠D，然后根據三角形的內角和即可得到結論．

解答 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠OCB+2∠OBC+∠A=180°，
∴∠OCB+∠OBC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
又∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，
∴90°-$\frac{1}{2}$∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
而∠BOC=120°，
∴∠A=60°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=$\frac{1}{2}$∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
故選D．

點評 本題考查了角平分線定義，三角形內角和定理的應用，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．